Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$ và có tâm đường tròn nội tiếp $I$. Kẻ phân giác $B{B}^{\prime }$, $C{C}^{\prime }$ của tam giác $ABC$, trong đó $B^{\prime },C^{\prime }\in (O)$. Gọi $d$ là đường thẳng qua $I$, vuông góc $OI$. Giả sử $d$ cắt các đoạn thẳng $AB,BC,B^{\prime }{C}^{\prime }$ lần lượt ở $E,D,H$ và cắt tia đối của tia $AC$ ở $F$. Trên $(O)$ lấy điểm $L$ sao cho $AL$ song song với $d$. Gọi $A^{\prime }$ là trung điểm của cung lớn $BC$ của $(O)$ và $A^{\prime }I$ cắt lại $(O)$ tại $K$.

(1) Chứng minh rằng $AH=HI=ID=DL=DK$.

(2) Gọi $J$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$. Lấy điểm $G$ trên $(O)$ sao cho $HG$ vuông góc $IJ$ và lấy các điểm $R,S$ trên $(O)$ sao cho $GI=GR=GS$. Giả sử rằng $A,G$ nằm khác phía nhau so với đường thẳng $RS$. Chứng minh rằng $AG,RS$ cắt nhau tại một điểm trên $(J)$.