Cho tam giác nhọn không cân $ABC$ có các đường cao $AD,BE,CF$ với $D\in BC,E\in CA$ và $F\in AB$. Gọi $H,O$ và $I$ tương ứng là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp và tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $ABC$, $M,N$ và $P$ tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng $BC,CA$ và $AB$. Gọi $X,Y$ và $Z$ tương ứng là giao điểm của các cặp đường thẳng $(AI,NP),(BI,PM)$ và $(CI,MN)$.
a) Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AXD,BYE,CZF$ có hai điểm chung nằm trên đường thẳng $OH$.
b) Các đường thẳng $XP,YM$ và $ZN$ tương ứng cắt lại các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $AXD,BYE$ và $CZF$ tại các điểm $X^{\prime },Y^{\prime }$ và $Z^{\prime }$ ($X^{\prime }\ne X,Y^{\prime }\ne Y,Z^{\prime }\ne Z$). Gọi $J$ là điểm đối xứng của $I$ qua $O$. Chứng minh rằng $X^{\prime },Y^{\prime }$ và $Z^{\prime }$ cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường thẳng $HJ$.

LỜI GIẢI.
a) Gọi bán kính của đường tròn $(O)$ ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $R$.



Vì $AH$ và $AO$ đẳng giác trong $\hat{A}$ nên $AI$ là phân giác của $\widehat{OAH}$. Mặt khác, $NP$ đường là trung trực đoạn $AD$ nên tam giác $AXD$ cân tại $X$. Từ đó ta có
$$\widehat{XDA}=\widehat{DAX}=\widehat{HAI}=\widehat{OAI},$$
suy ra $OA$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(AXD)$, dẫn tới ${\mathcal{P}}_{O/(AXD)}=O{A}^2=R^2$.

Tương tự, ta cũng chứng minh được
$${\mathcal{P}}_{O/(AXD)}={\mathcal{P}}_{O/(BYE)}={\mathcal{P}}_{O/(CZF)}=R^2.$$

Lại có $H$ là trực tâm của tam giác nhọn $ABC$, nên
$$\overline{HA}\cdot \overline{HD}=\overline{HB}\cdot \overline{HE}=\overline{HC}\cdot \overline{HF}=-HC\cdot HF<0,$$
hay tức là ${\mathcal{P}}_{H/(AXD)}={\mathcal{P}}_{H/(BYE)}={\mathcal{P}}_{H/(CZF)}<0$.

Từ đó ta thấy các đường tròn $(AXD)$, $(BYE)$, và $(CZF)$ đồng trục $OH$, kết hợp ${\mathcal{P}}_{H/(AXD)}<0$ ta kết luận được chúng có hai điểm chung nằm trên đường thẳng $OH$.

b) Gọi $I_a$, $I_b$, $I_c$ tương ứng là các tâm bàng tiếp của tam giác $ABC$. $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ lần lượt là trung điểm $I{I}_a$, $I{I}_b$, $I{I}_c$. Khi đó, $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$ là trung điểm các cung $\widehat{BC}$, $\widehat{CA}$, $\widehat{AB}$.



Gọi $T$ là tâm của $(AXD)$, $A{X}^{\prime }$ cắt $BC$ tại $S$. Hiển nhiên có $X^{\prime }$ là trung điểm $AS$.

Vì $X{X}^{\prime }$ (hay $NP$) là trung trực $AD$ nên $X{X}^{\prime }$ đi qua $T$, nên $X{X}^{\prime }$ là đường kính $(T)$. Suy ra $A{X}^{\prime }\perp AX$, nên $A,X^{\prime },I_b,I_c,S$ thẳng hàng.

Xét phép vị tự tâm $I$ tỉ số $2$ tương ứng biến $A^{\prime }$, $B^{\prime }$, $C^{\prime }$, $O$ thành $I_a$, $I_b$, $I_c$, $J$, và biến $(O,R)$ thành $(J,2R)$. Mà $(O)$ ngoại tiếp tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, nên $(J,2R)$ ngoại tiếp tam giác $I_a{I}_b{I}_c$. Gọi $G$ là một trong hai giao điểm của $(X^{\prime },X^{\prime }A)$ và $(J,2R)$.

Vì $C{I}_c$ và $C{I}_b$ lần lượt là phân giác trong và ngoài của $\widehat{ACS}$ nên
$$(AS{I}_b{I}_c)=C(AS{I}_b{I}_c)=-1,$$
mà $X^{\prime }$ là trung điểm $AS$ nên $\overline{X^{\prime }{I}_b}.\overline{X^{\prime }{I}_c}=X^{\prime }{A}^2=X^{\prime }{G}^2$, suy ra $X^{\prime }G$ là tiếp tuyến tại $G$ của $(J,2R)$, nên $X^{\prime }G\perp JG$. Từ đó suy ra $JG$ là tiếp tuyến tại $G$ của $(X^{\prime },X^{\prime }A)$, nên
$${\mathcal{P}}_{J/(X^{\prime },X^{\prime }A)}=J{G}^2=4R^2.$$

Tương tự, ta cũng chứng minh được
$${\mathcal{P}}_{J/(X^{\prime },X^{\prime }A)}={\mathcal{P}}_{J/(Y^{\prime },Y^{\prime }B)}={\mathcal{P}}_{J/(Z^{\prime },Z^{\prime }C)}=4R^2.$$

Dễ dàng có $(X^{\prime },X^{\prime }A)$, $(Y^{\prime },Y^{\prime }B)$, $(Z^{\prime },Z^{\prime }C)$ lần lượt đi qua $D$, $E$, $F$, nên ta cũng có
$${\mathcal{P}}_{H/(X^{\prime },X^{\prime }A)}={\mathcal{P}}_{H/(Y^{\prime },Y^{\prime }B)}={\mathcal{P}}_{H/(Z^{\prime },Z^{\prime }C)}(\text{do }\overline{HA}\cdot \overline{HD}=\overline{HB}\cdot \overline{HE}=\overline{HC}\cdot \overline{HF}).$$

Từ hai điều trên suy ra $(X^{\prime },X^{\prime }A)$, $(Y^{\prime },Y^{\prime }B)$, $(Z^{\prime },Z^{\prime }C)$ đồng trục $HJ$, nên ta có $X^{\prime }$, $Y^{\prime }$ và $Z^{\prime }$ cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với đường thẳng $HJ$.