Cho tứ diện ABCD có AB = và các cạnh còn lại đều bằng a. Biết rằng bán kính mặt cầu
2
a m
ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng với m, n $\in$ $\mathbb{N}$^* ; m \le 15 . Tổng T = m + n bằng
n

Chọn C

DA2 + DB 2 AB 2 13a 2 a 13
Gọi M là trung điểm của AB ta có DM 2 = - = $\Rightarrow$ DM = .
2 4 16 4

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD thì I $\in$ DM .

Gọi S là diện tích tam giác ABD cân tại D .

1 1 a 13 a 3 a 2 39
Ta có DM \perp AB $\Rightarrow$ S = DM . AB = . . = .
2 2 4 2 16

AB. AC.BC AB. AC.BC a.a.a 3 2 13
Ta có S = $\Rightarrow$ R= = = a.
4R 4S a 2 39 13
8.
16
2
 2 13  9 3 13
Tam giác CDI vuông tại I $\Rightarrow$ CI = CD - R = a - 
2
a  = a 2 $\Rightarrow$ CI =
2 2 2
a.
 13  13 3

CA = CB = CD = a
Ta có $\Rightarrow$ IC \perp ( ABD ) . (Do IC là trục đường tròn của tam giác ABD ).
IA = ID = IB

Gọi N là trung điểm của DC . Trong mặt phẳng ( CDI ) kẻ NO \perp CD, NO  CI = O thì O là
tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Ta có

CO CN CD.CN CD 2 a2 13 m = 13
$\Delta$ CNO # $\Delta$ CID $\Rightarrow$ = $\Rightarrow$ CO = = = = a $\Rightarrow$
CD CI CI 2CI
2.
3 13
a
6 n = 6
13
$\Rightarrow$ m + n = 19 .