Cho tứ diện $ABCD$ có $CD=a\sqrt{2},△ABC$ là tam giác đều cạnh $a,△ACD$ vuông tại $A$. Mặt phẳng $(BCD)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABD)$. Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ bằng

Tam giác $ACD$ vuông tại $A$ có $AC=a,CD=a\sqrt{2}\Rightarrow AD=a=AB$. Gọi $H,E$ lần lượt là trung điểm của $BD$ và $CD$, ta có $AH\perp (BCD)\Rightarrow CD\perp (AHE)\Rightarrow BC\perp CD$, nên $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $△BCD$.

[IMAGE_1]

Trong mặt phẳng $(AHE)$, kẻ đường thẳng qua $E$ vuông góc với $AE$ cắt $AH$ tại $I$ thì $I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$. Ta có $R=AI=\frac{A{E}^2}{AH}=\frac{(a\sqrt{2}/2{)}^2}{a/2}=a\Rightarrow V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4\pi a^3}{3}$.