Cho tứ diện $ABCD$ có $DA$ vuông góc mặt phẳng $(ABC)$, $DB$ vuông góc $BC$, $AD=AB=BC=a$. Ký hiệu $V_1,V_2,V_3$ lần lượt là thể tích của hình tròn xoay sinh bởi tam giác $ABD$ khi quay quanh $AD$, tam giác $ABC$ khi quay quanh $AB$, tam giác $DBC$ khi quay quanh $BC$. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Chọn A.
- Khi tam giác vuông $ABD$ (vuông tại $A$) quay quanh $AD$, ta được khối nón có bán kính đáy $R_1=AB=a$, chiều cao $h_1=AD=a$. Thể tích $V_1=\frac{1}{3}\pi R_1^2{h}_1=\frac{1}{3}\pi a^3$.
- Vì $DA\perp (ABC)\Rightarrow DA\perp BC$. Lại có $DB\perp BC\Rightarrow BC\perp (ABD)\Rightarrow BC\perp AB$, nên tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Khi tam giác $ABC$ quay quanh $AB$, ta được khối nón có bán kính đáy $R_2=BC=a$, chiều cao $h_2=AB=a$. Thể tích $V_2=\frac{1}{3}\pi R_2^2{h}_2=\frac{1}{3}\pi a^3$.
- Tam giác $DBC$ vuông tại $B$ có $BC=a$ và $BD=\sqrt{A{D}^2+A{B}^2}=a\sqrt{2}$. Khi quay quanh $BC$, ta được khối nón có bán kính đáy $R_3=BD=a\sqrt{2}$, chiều cao $h_3=BC=a$. Thể tích $V_3=\frac{1}{3}\pi (a\sqrt{2}{)}^{2}a=\frac{2}{3}\pi a^3$.
Suy ra $V_1+V_2=\frac{1}{3}\pi a^3+\frac{1}{3}\pi a^3=\frac{2}{3}\pi a^3=V_3$.