Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $I$ là trung điểm đoạn $CD$, $M$ là điểm nằm trên đoạn $BC$ ($M$ khác $B$ và $C$), $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $M$ và song song với mặt phẳng $(ABI)$. Khi đó thiết diện của tứ diện $ABCD$ khi cắt bởi $(\alpha )$ là

(AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng $(BCD)$, qua $M$ kẻ đường song song với $BI$, cắt $BD$ tại $N$ (vì $BI$ cắt $BD$ tại $B$). Khi đó $MN\parallel BI\subset (ABI)$ nên $MN\parallel (ABI)$.
Trong mặt phẳng $(ABD)$, qua $N$ kẻ đường song song với $AB$, cắt $AD$ tại $P$; khi đó $NP\parallel AB$ nên $NP\parallel (ABI)$.
Gọi thiết diện là $(MNP)$. Vì $(MNP)\cap (ACD)$ là đường qua $P$ và $(ABI)\cap (ACD)=AI$, nên đường giao này song song với $AI$, tức $PM\parallel AI$ (đúng vì $M$ nằm trên đường qua $P$ song song $AI$ trong $(ACD)$, cắt $BC$ tại $M$ ban đầu).
Vậy thiết diện là tam giác $MNP$ với $MN\parallel BI$, $NP\parallel AB$, $PM\parallel AI$, nên $△MNP\sim △IBA$.
Trong tứ diện đều cạnh $a$: $AB=a$, còn $AI=BI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường trung tuyến của tam giác đều). Suy ra tam giác $IBA$ cân tại $I$, do đó tam giác $MNP$ cũng là tam giác cân (không đều vì $AB\ne AI$).
Vậy thiết diện là một tam giác cân.