Cho tứ giác không phải hình thang, nội tiếp đường tròn tâm . Gọi là trung điểm của ; là giao điểm của và . Các tiếp tuyến tại và của đường tròn cắt nhau tại . Gọi là giao điểm và ; là giao điểm của và ; là hình chiếu của trên ; là giao điểm thứ hai của hai đường tròn và .
a) Chứng minh rằng các điểm cùng nằm trên một đường tròn, kí hiệu là .
b) Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường tròn tại . Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn . Chứng minh rằng là tia phân giác của .
Cho tứ giác không phải hình thang, nội tiếp đường tròn tâm . Gọi là trung điểm của ; là giao điểm của và . Các tiếp tuyến tại và của đường tròn cắt nhau tại . Gọi là giao điểm và ; là giao điểm của và ; là hình chiếu của trên ; là giao điểm thứ hai của hai đường tròn và .
a) Chứng minh rằng các điểm cùng nằm trên một đường tròn, kí hiệu là .
b) Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường tròn tại . Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn . Chứng minh rằng là tia phân giác của .
a) Chứng minh rằng các điểm cùng nằm trên một đường tròn, kí hiệu là .
b) Tiếp tuyến tại của đường tròn cắt đường tròn tại . Gọi là giao điểm thứ hai của với đường tròn . Chứng minh rằng là tia phân giác của .
Đáp án chính thức: Tự luận
Hướng dẫn giải chi tiết
Lời giải (Lim Olympic - Lào Cai TST - P6):
a) Gọi cắt tại . Theo định lí ta có là trực tâm .
Gọi tại và tại
mà là phân giác ngoài .
Mà nội tiếp
nằm trên và và nội tiếp.
nội tiếp.
b) Do nội tiếp mà cắt tại .
.
và .
, mà là đối trung của .
cũng là đối trung của .
tiếp xúc nên theo bổ đề tiếp xúc ta có là trung điểm cung nhỏ của là phân giác .
a) Gọi cắt tại . Theo định lí ta có là trực tâm .
Gọi tại và tại
mà là phân giác ngoài .
Mà nội tiếp
nằm trên và và nội tiếp.
nội tiếp.
b) Do nội tiếp mà cắt tại .
.
và .
, mà là đối trung của .
cũng là đối trung của .
tiếp xúc nên theo bổ đề tiếp xúc ta có là trung điểm cung nhỏ của là phân giác .