Cho $x\ge 0,y\ge 0,x+y>0$ thỏa mãn $2^{x^2+y^2}+2023^{x-y}{\log }_2\left(\frac{x^2+y^2}{x+y}\right)\le 4^{x+y}+2023^{x-y}$. Tìm tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x^2+y^2-6x-2y+5$.

Biến đổi bất phương trình: xét hàm số đặc trưng ta được $x^2+y^2\le 2(x+y)\iff (x-1{)}^2+(y-1{)}^2\le 2$. Biểu thức $P=(x-3{)}^2+(y-1{)}^2-5$. Khoảng cách từ tâm $I(1;1)$ đến $A(3;1)$ là $d=2$, bán kính hình tròn là $R=\sqrt{2}$. Khi đó $d-R\le AM\le d+R\iff 2-\sqrt{2}\le AM\le 2+\sqrt{2}$. Suy ra $P_{min}=(2-\sqrt{2}{)}^2-5=1-4\sqrt{2}$ và $P_{max}=(2+\sqrt{2}{)}^2-5=1+4\sqrt{2}$ (khi xét miền $x,y\ge 0$). Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P$ là $6-4\sqrt{2}$. Chọn A.