Cho $\widehat{xOy}=60^{\circ }$. Khi $A,B$ là 2 điểm di động lần lượt trên tia $Ox$, $Oy$ sao cho $AB=4$ ($A,B$ không trùng $O$) độ dài lớn nhất của $OB$ bằng $\frac{a\sqrt{b}}{b}$ với $a,b$ là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau. Tính tích $a.b$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $OA=x,OB=y$ ($x,y>0$). Trong tam giác $OAB$ có góc $O=60^{\circ }$, theo định lí cosin: $A{B}^2=x^2+y^2-2xy\cos 60^{\circ }=x^2+y^2-xy=16$. Với $y$ cố định, đây là phương trình $x^2-yx+(y^2-16)=0$ theo $x$; để có nghiệm $x>0$ cần biệt thức $\Delta =y^2-4(y^2-16)\ge 0\iff 64-3y^2\ge 0\iff y\le \frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$. Dấu bằng xảy ra khi $x=y/2>0$, thỏa mãn. Vậy $O{B}_{\max }=\frac{8\sqrt{3}}{3}$, tức $a=8,b=3$ (nguyên tố cùng nhau), $a.b=24$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 2356, Câu 3 Phần III: 24).