Chọn ngẫu nhiên lần lượt các số $a,b$ phân biệt thuộc tập hợp $\{3^k\mid k\in \mathbb{N},1\le k\le 10\}$. Tính xác suất để ${\log }_{a}b$ là một số nguyên dương.

Chọn A.
Gọi $\Omega$ là không gian mẫu của phép thử: "chọn ngẫu nhiên lần lượt các số $a,b$ thuộc tập hợp $\{3^k\mid k\in \mathbb{N},1\le k\le 10\}$" $\Rightarrow n_{\Omega }=9\cdot 10=90$.
Giả sử $k_1,k_2$ là các số tự nhiên thuộc $[1;10]$ và $k_1\ne k_2$ thỏa $a=3^{k_1}$ và $b=3^{k_2}$.
Theo đề bài ta có: ${\log }_{a}b={\log }_{3^{k_1}}{3}^{k_2}=\frac{k_2}{k_1}$ là một số nguyên dương.
$\Rightarrow k_1$ thuộc vào ước của $k_2$ và $k_1\ne k_2$ $(\ast )$.
- Xét trường hợp: $k_2$ là các số nguyên tố $\Rightarrow k_1=1$. Do $\{\begin{array}{l}{k}_2\in [1;10]\\ k_2\in \mathbb{N}\end{array}\Rightarrow k_2\in \{2;3;5;7\}\Rightarrow$ có $4$ cách chọn bộ $(a,b)$ thỏa $(\ast )$.
- Xét trường hợp: $k_2$ là các số chính phương $\Rightarrow k_2\in \{4;9\}$. Với mỗi số trên ta thấy $k_1$ chỉ có thể nhận hai ước số là $\{1;2\}$ hoặc $\{1;3\}\Rightarrow$ có $2\cdot 2$ cách chọn bộ $(a,b)$ thỏa $(\ast )$.
- Xét $k_2\in \{6;8;10\}$. Với mỗi số trên ta thấy $k_1$ chỉ có thể nhận ba ước số hoặc là $\{1;2;3\}$ hoặc $\{1;2;4\}$ hoặc $\{1;2;5\}\Rightarrow$ có $3\cdot 3$ cách chọn bộ $(a,b)$ thỏa $(\ast )$.
Tóm lại từ các trường hợp trên ta thấy có tất cả $17$ cách chọn thỏa yêu cầu bài toán.
Vậy xác suất cần tìm là $\frac{17}{90}$.