Có bao nhiêu cách phân tích số $15^9$ thành tích của ba số nguyên dương, biết rằng các cách phân tích mà các nhân tử chỉ khác nhau về thứ tự thì chỉ được tính một lần?

Ta có $15^9=3^9\cdot 5^9=x\cdot y\cdot z$ với $x=3^{a_1}{5}^{b_1},y=3^{a_2}{5}^{b_2},z=3^{a_3}{5}^{b_3}$ ($a_1+a_2+a_3=9,b_1+b_2+b_3=9$). Số nghiệm nguyên không âm của phương trình $u_1+u_2+u_3=9$ là $C_{11}^2=55$, nên có $55^2=3025$ bộ có thứ tự $(x,y,z)$. Trong đó có $1$ bộ mà $x=y=z$ ($a_i=b_i=3$) và $3\cdot (5\cdot 5-1)=72$ bộ có đúng hai số bằng nhau. Do đó số bộ ba số phân biệt không kể thứ tự là $\frac{3025-1-72}{6}=492$. Cộng thêm $1$ bộ ba số bằng nhau và $\frac{72}{3}=24$ bộ có hai số bằng nhau, ta được $492+1+24=517$ cách. Chọn đáp án A.