Có bao nhiêu cặp số nguyên dương ( x, y ) sao cho ứng với mổi giá trị nguyên dương của y có
không quá 15 giá trị nguyên dương của x thỏa mãn
log 5 ( 3 x 2 + xy + 36 y 2 ) + log 3 ( x 2 + 12 y 2 )  log 5 ( xy ) + log 3 ( x 2 + 16 xy + 12 y 2 ) + 1?

Chọn B
log 5 ( 3 x 2 + xy + 36 y 2 ) + log 3 ( x 2 + 12 y 2 )  log 5 ( xy ) + log 3 ( x 2 + 16 xy + 12 y 2 ) + 1
3 x 2 + xy + 36 y 2 3 x 2 + 48 xy + 36 y 2
$\iff$ log 5  log 3
xy x 2 + 12 y 2
( )
( ( x 12 y ) ) ( 48 )
$\iff$ log 5 ( 3 ( + +
) ) 1  log 3 ( 3 + )
( (y x ) ) ( x y)
( + 12 )
( y x)

x 12 y ( 48 )
Đặt a = +  0 . Ta được log 5 (3a + 1) - log 3 ( 3 + )  0 .
y x ( a )

( 48 )
Xét f (a ) = log 5 (3a + 1) - log 3 ( 3 + ) , a $\in$ (0, +$\infty$).
( a )

48
3 a2
$\Rightarrow$ f $\mathbb{Z}$ (a) = +  0, a  0.
(3a + 1) ln 5 ( 48 )
( 3 + ) ln 3
( a )

$\Rightarrow$ f (a ) đồng biến trên (0 + $\infty$)

Mà f (8) = 0 $\Rightarrow$ f (a )  0 $\iff$ a  8 . Khi đó ta có

x y
+ 12  8 $\iff$ x 2 + 12 y 2  8 xy $\iff$ x 2 - 8 xy + 12 y 2  0 $\iff$ ( x - 2 y )( x - 6 y )  0 $\iff$ 2 y  x  6 y.
y x
Để mỗi giá trị của y có không quá 15 giá trị nguyên dương của x thì điều kiện là
(6 y - 1) - (2 y + 1) + 1 \le 15 $\iff$ y \le 4, y $\in$ N * $\Rightarrow$ 1 \le y \le 4.

Với y = 1 $\Rightarrow$ x $\in$ ( 2;6 ) $\Rightarrow$ có 3 cặp ( x; y ) .

Với y = 2 $\Rightarrow$ x $\in$ ( 4;12 ) $\Rightarrow$ có 7 cặp ( x; y ) .

Với y = 3 $\Rightarrow$ x $\in$ ( 6;18 ) $\Rightarrow$ có 11 cặp ( x; y ) .

Với y = 4 $\Rightarrow$ x $\in$ ( 8; 24 ) $\Rightarrow$ có 15 cặp ( x; y ) .

Vậy có 36 cặp ( x; y ) thỏa yêu cầu bài toán.