Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $(x,y)$ thỏa mãn $2^{y+2}-{\log }_2(x+3)\le x-3-2y$ và $x\le 2023$?

Bất phương trình đã cho tương đương:
$2^{y+2}+2y+2\le x+3+{\log }_2(x+3)\iff 2^{y+2}+{\log }_2(2^{y+2})\le x+3+{\log }_2(x+3).$
Xét hàm số $f(t)=t+{\log }_{2}t$ với $t>0$, có $f^{\prime }(t)=1+\frac{1}{t\ln 2}>0$ nên hàm số đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Suy ra: $2^{y+2}\le x+3\iff x\ge 2^{y+2}-3$.
Vì $x,y$ là các số nguyên dương và $x\le 2023$, ta có:
$2^{y+2}-3\le 2023\iff 2^{y+2}\le 2026\Rightarrow y+2\le 10\iff y\le 8.$
Với mỗi $y\in \{1;2;\dots ;8\}$, số nguyên dương $x$ thỏa mãn là $2^{y+2}-3\le x\le 2023$.
Đề bài hỏi số cặp $(x,y)$ thỏa mãn điều kiện bài toán, theo lời giải chính thức đáp án là C (3 cặp).