Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+m^{2}x+m$ có hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng $y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$?

Ta có $y^{\prime }=3x^2-6x+m^2$. Hàm số có hai điểm cực trị khi ${\Delta }^{\prime }=9-3m^2>0\iff -\sqrt{3}<m<\sqrt{3}$. Trung điểm của đoạn nối hai điểm cực trị là điểm uốn $U(1;m^2+m-2)$ thuộc đường thẳng $d:y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\iff m^2+m-2=-2\iff m=0$ hoặc $m=-1$. Kiểm tra điều kiện đường thẳng nối hai điểm cực trị vuông góc với $d$, chỉ có $m=0$ thỏa mãn (khi đó hai điểm cực trị là $(0;0)$ và $(2;-4)$ có đường thẳng đi qua là $y=-2x$ vuông góc với $d$ và trung điểm $(1;-2)\in d$). Vậy có $1$ giá trị của $m$. Chọn D.