Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ sao cho bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$? ${\log }_3(x^2+2mx+2m^2-1)\le 1+{\log }_2(x^2+2x+3)\cdot {\log }_3(x^2+3)$.

Điều kiện xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$: ${\Delta }^{\prime }=1-m^2<0\iff |m|>1$. Thay $x=-1$ và $x=1$ vào bất phương trình được ${\log }_3(2m^2\mp 2m)\le 1+{\log }_{3}4={\log }_{3}12\Rightarrow 2m^2\pm 2m\le 12\Rightarrow m\in \{-2;2\}$. Thử lại với $m=\pm 2$, do ${\log }_2(x^2+2x+3)\ge 1$ và $x^2\pm 4x+7\le 3(x^2+3)\iff 2(x\mp 1{)}^2\ge 0$ luôn đúng nên cả $2$ giá trị nguyên $m\in \{-2;2\}$ đều thỏa mãn.