Cho hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và hàm số $y=f^{\prime }(x)$ có đồ thị như hình vẽ. Trên đoạn $[-3;4]$ hàm số $g(x)=f\left(\frac{x}{2}+1\right)-\ln (x^2+8x+16)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

Ta có $g^{\prime }(x)=\frac{1}{2}{f}^{\prime }\left(\frac{x}{2}+1\right)-\frac{2}{x+4}$. Đặt $t=\frac{x}{2}+1$, với $x\in [-3;4]$ thì $t\in \left[-\frac{1}{2};3\right]$ và $g^{\prime }(x)=0\iff f^{\prime }(t)=\frac{2}{t+1}$. Đồ thị $y=f^{\prime }(t)$ và đường cong $y=\frac{2}{t+1}$ cắt nhau tại $3$ điểm phân biệt có hoành độ $t=0,t=1,t=a\in (1;3)$ (đều là nghiệm đơn), nên hàm số $g(x)$ có $3$ điểm cực trị trên đoạn $[-3;4]$.