Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ thuộc đoạn $[-8;8]$ để hàm số $y=\left|x^3-3(m+2)x^2+3m(m+4)x+5\right|$ đồng biến trên khoảng $(1;3)$?

Đặt $g(x)=x^3-3(m+2)x^2+3m(m+4)x+5\Rightarrow g^{\prime }(x)=3x^2-6(m+2)x+3m(m+4)$.
Ta có $g^{\prime }(x)=0\iff [\begin{array}{l}x=m\\ x=m+4\end{array}$.
Để hàm số $y=|g(x)|$ đồng biến trên khoảng $(1;3)$ thì điều kiện cần và đủ là:
$[\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}{g}^{\prime }(x)\le 0,\forall x\in (1;3)\\ g(1)\le 0\end{array}\\ \{\begin{array}{l}{g}^{\prime }(x)\ge 0,\forall x\in (1;3)\\ g(1)\ge 0\end{array}\end{array}$.
- Trường hợp 1: $\{\begin{array}{l}m\le 1<3\le m+4\\ g(1)=3m^2+9m\le 0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-1\le m\le 1\\ -3\le m\le 0\end{array}\iff -1\le m\le 0$. Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-1;0\}$ ($2$ giá trị).
- Trường hợp 2: $\{\begin{array}{l}[\begin{array}{l}m\ge 3\\ m+4\le 1\end{array}\\ g(1)=3m^2+9m\ge 0\end{array}\iff [\begin{array}{l}m\ge 3\\ m\le -3\end{array}$. Kết hợp $m\in [-8;8]$ và $m\in \mathbb{Z}$, ta được $m\in \{-8;-7;-6;-5;-4;-3;3;4;5;6;7;8\}$ ($12$ giá trị).
Vậy có tất cả $2+12=14$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Chọn đáp án A.