Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để phương trình $4^x+4^{-x}=2^{x+1}-2^{1-x}+4-m$ có nghiệm trên đoạn $[0;1]$?

Phương trình đã cho viết lại:
$$(2^x-2^{-x}{)}^2+2=2(2^x-2^{-x})+4-m$$
Đặt $t=2^x-2^{-x}$.
Với $x\in [0;1]$, hàm số $t(x)=2^x-2^{-x}$ đồng biến trên $[0;1]$ với $t(0)=0$ và $t(1)=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Do đó $t\in \left[0;\frac{3}{2}\right]$.
Khi đó phương trình trở thành:
$$t^2+2=2t+4-m\iff m=-t^2+2t+2$$
Xét hàm số $f(t)=-t^2+2t+2$ trên đoạn $\left[0;\frac{3}{2}\right]$:
$f^{\prime }(t)=-2t+2=0\iff t=1\in \left[0;\frac{3}{2}\right]$.
Bảng biến thiên của hàm số $f(t)$:

Ta có $f(0)=2$, $f(1)=3$, $f\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{9}{4}+3+2=\frac{11}{4}=2,75$.
Suy ra tập giá trị của $f(t)$ trên đoạn $\left[0;\frac{3}{2}\right]$ là $[2;3]$.
Để phương trình có nghiệm trên đoạn $[0;1]$ thì $2\le m\le 3$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{2;3\}$, có $2$ giá trị nguyên thỏa mãn.
Chọn đáp án B.