Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA\perp (ABC)$, đáy là tam giác vuông tại $B$, biết $AB=a\sqrt{5}$, $BC=a$, $SA=a\sqrt{6}$. Gọi $B_1,C_1$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên các cạnh $SB,SC$. Thể tích của khối cầu ngoại tiếp khối chóp $A.BC{C}_1{B}_1$ bằng

Hình vẽ minh họa:

Gọi $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $AC$.
Ta có $\{\begin{array}{l}BC\perp AB\\ BC\perp SA\end{array}\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow BC\perp A{B}_1$.
Mặt khác $A{B}_1\perp SB$ theo giả thiết, suy ra $A{B}_1\perp (SBC)\Rightarrow A{B}_1\perp B_{1}C$, hay $\widehat{A{B}_{1}C}=90^{\circ }$.
Lại có $A{C}_1\perp SC\Rightarrow \widehat{A{C}_{1}C}=90^{\circ }$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B\Rightarrow \widehat{ABC}=90^{\circ }$.
Như vậy, các điểm $B,B_1,C_1$ cùng nhìn đoạn thẳng $AC$ dưới một góc vuông $90^{\circ }$.
Do đó khối đa diện $A.BC{C}_1{B}_1$ nội tiếp mặt cầu $(S)$ đường kính $AC$, có tâm là $M$ (trung điểm của $AC$).
Bán kính mặt cầu là:
$$R=\frac{AC}{2}=\frac{\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}}{2}=\frac{\sqrt{5a^2+a^2}}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$$
Thể tích khối cầu ngoại tiếp là:
$$V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi {\left(\frac{a\sqrt{6}}{2}\right)}^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{6\sqrt{6}{a}^3}{8}=\sqrt{6}\pi a^3$$
Chọn đáp án A.