Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình $\ln (x^2+2x+m)-2\ln (2x-1)>0$ chứa đúng 2 số nguyên?

Chọn B.
Điều kiện: $2x-1>0\iff x>\frac{1}{2}$ và $x^2+2x+m>0$.
BPT tương đương với $\ln (x^2+2x+m)>\ln ((2x-1{)}^2)\iff x^2+2x+m>(2x-1{)}^2=4x^2-4x+1\iff 3x^2-6x+1<m$.
Xét hàm số $f(x)=3x^2-6x+1$ trên $(\frac{1}{2};+\infty )$. Các số nguyên $x>\frac{1}{2}$ là $x\in \{1,2,3,4,\dots \}$.
Ta có:
- $f(1)=3-6+1=-2$
- $f(2)=12-12+1=1$
- $f(3)=27-18+1=10$
Để tập nghiệm chứa đúng 2 số nguyên là $x=1$ và $x=2$, ta cần $f(2)<m\le f(3)$, tức là $1<m\le 10$.
Kiểm tra điều kiện $x^2+2x+m>0$ với mọi $x\in [1;2]$: vì $m>1$ nên luôn thỏa mãn.
Vậy $m\in \{2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, có đúng 9 giá trị nguyên của $m$.