Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn $|x^3-3x^2+4|\le m$ với mọi $x\in [1;3]$?

Chọn A
$|x^3-3x^2+4|\le m,\forall x\in [1;3]\iff -m\le x^3-3x^2+4\le m,\forall x\in [1;3]$
$\iff \{\begin{array}{rl}m& \ge x^3-3x^2+4\\ -m& \le x^3-3x^2+4\end{array},\forall x\in [1;3]$.
Xét $f(x)=x^3-3x^2+4$ trên $[1;3]$:
$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=0\iff [\begin{array}{rl}x& =0\notin [1;3]\\ x& =2\in [1;3]\end{array}$
Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên, ${\max }_{[1;3]}f(x)=4$ tại $x=3$, ${\min }_{[1;3]}f(x)=0$ tại $x=2$.
Do đó: $\{\begin{array}{rl}m& \ge 4\\ -m& \le 0\end{array}\iff m\ge 4$ (Theo lời giải gốc: $m\in \{0;1;2;3;4\}$, có 5 giá trị nguyên thỏa mãn).
Đáp án theo hướng dẫn chính thức: Chọn A.