Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để hàm số $y=x^3-3m{x}^2+3(m^2-2)x$ đồng biến trên khoảng $(12;+\infty )$?

Chọn A.
Ta có $y^{\prime }=3x^2-6mx+3(m^2-2)=3[x^2-2mx+m^2-2]$.
Biệt thức ${\Delta }^{\prime }=m^2-(m^2-2)=2>0$.
Phương trình $y^{\prime }=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1=m-\sqrt{2},x_2=m+\sqrt{2}$.
Hàm số đồng biến trên khoảng $(12;+\infty )$ khi và chỉ khi:
$$m+\sqrt{2}\le 12\iff m\le 12-\sqrt{2}\approx 10,58.$$
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1,2,\dots ,10\}$, có 10 giá trị.