Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số $m$ để tập nghiệm của bất phương trình $(3^{x+2}-\sqrt{3})(3^x-2m)<0$ chứa không quá $9$ số nguyên?

Với $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, bất phương trình tương đương với $\left(3^x-3^{-3/2}\right)(3^x-2m)<0\iff -\frac{3}{2}<x<{\log }_3(2m)$. Để khoảng $\left(-\frac{3}{2};{\log }_3(2m)\right)$ chứa không quá $9$ số nguyên (tức nhiều nhất là $\{-1,0,1,2,3,4,5,6,7\}$) thì ${\log }_3(2m)\le 8\iff m\le \frac{3^8}{2}=3280,5$. Vậy có $3280$ giá trị nguyên dương của $m$.