Có bao nhiêu số nguyên $a\in (-2019;2019)$ để phương trình $\frac{1}{\ln (x+5)}+\frac{1}{3^x-1}=x+a$ có $2$ nghiệm phân biệt?

Xét hàm số $g(x)=\frac{1}{\ln (x+5)}+\frac{1}{3^x-1}-x$ trên tập xác định $D=(-5;-4)\cup (-4;0)\cup (0;+\infty )$. Ta có $g^{\prime }(x)=-\frac{1}{(x+5){\ln }^2(x+5)}-\frac{3^x\ln 3}{(3^x-1{)}^2}-1<0,\forall x\in D$. Khảo sát giới hạn tại các đầu mút: ${\lim }_{x\to -5^{+}}g(x)=5-\frac{243}{242}=3+\frac{241}{242}$, và trên mỗi khoảng $(-4;0)$, $(0;+\infty )$ hàm số giảm từ $+\infty$ xuống $-\infty$. Do đó phương trình $g(x)=a$ có đúng $2$ nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $a\ge 5-\frac{243}{242}$. Kết hợp $a\in (-2019;2019),a\in \mathbb{Z}\Rightarrow a\in \{4;5;\dots ;2018\}$, có $2018-4+1=2015$ giá trị. Chọn đáp án A.