Có bao nhiêu số nguyên dương $a$ thỏa mãn ${\log }_6(\sqrt{a}+\sqrt[3]{a})>{\log }_3\sqrt[3]{a}$?

Chọn C
Đặt t = 6 a , do a  0 $\Rightarrow$ t  0.
Bất phương trình trở thành: log 6 ( t 3 + t 2 )  log 3 t 2 $\iff$ log 6 ( t 3 + t 2 ) - log 3 t 2  0.

Xét hàm số: f ( t ) = log 6 ( t 3 + t 2 ) - log 3 t 2 , t  0.

3t 2 + 2t 2t
Khi đó, f ' ( t ) = 3 2 - 2  0, t  0.
( t + t ) ln 6 t ln 3
Suy ra hàm số f ( t ) luôn nghịch biến với mọi t  0
Suy ra t = 3 là nghiệm duy nhất của phương trình f ( t ) = 0.
Yêu cầu bài toán
f ( t )  0 $\iff$ f ( t )  f ( 3) $\iff$ 0  t  3 (do hàm số f ( t ) luôn nghịch biến với mọi t  0 ).
Suy ra 6 a  3 $\iff$ a  36 . Vì a nguyên dương nên có 36 - 1 số nguyên dương a thỏa yêu cầu bài
toán.