Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ bất phương trình $(x+y-4)(3^x-y)<0$ có nghiệm nguyên và số nghiệm nguyên không vượt quá 5?

Bất phương trình nghiệm đúng khi $x$ nằm giữa hai nghiệm $4-y$ và ${\log }_{3}y$. Kiểm tra các số nguyên dương $y$:
- $y=1$: $0<x<3\Rightarrow x\in \{1;2\}$ (2 nghiệm, thỏa mãn).
- $y=2$: ${\log }_{3}2<x<2\Rightarrow x=1$ (1 nghiệm, thỏa mãn).
- $y=3$: không có nghiệm nguyên.
- $y\in \{4,5,6,7,8\}$: khoảng nghiệm $(4-y;{\log }_{3}y)$ có lần lượt 1, 2, 3, 4, 5 nghiệm nguyên (thỏa mãn).
- $y\ge 9$: có từ 6 nghiệm nguyên trở lên (loại).
Vậy có 7 giá trị nguyên dương của $y$ là $1,2,4,5,6,7,8$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 101, trang 8), chọn D.