Có bao nhiêu số nguyên $m$ để phương trình $\ln [m+2\sin x+\ln (m+3\sin x)]=\sin x$ có nghiệm thực?

Chọn B.
Đặt $u=\ln (m+3\sin x)\Rightarrow e^u=m+3\sin x\iff m+2\sin x=e^u-\sin x$.
Phương trình trở thành:
$$\ln (e^u-\sin x+u)=\sin x\iff e^u+u-\sin x=e^{\sin x}\iff e^u+u=e^{\sin x}+\sin x.$$
Xét hàm đặc trưng $f(t)=e^t+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, suy ra:
$$u=\sin x\iff \ln (m+3\sin x)=\sin x\iff m+3\sin x=e^{\sin x}\iff m=e^{\sin x}-3\sin x.$$
Đặt $t=\sin x\in [-1;1]$, hàm số $g(t)=e^t-3t$ có $g^{\prime }(t)=e^t-3<0,\forall t\in [-1;1]$.
Do đó $g(t)$ nghịch biến trên $[-1;1]$, suy ra:
$$g(1)\le m\le g(-1)\iff e-3\le m\le \frac{1}{e}+3.$$
Vì $e-3\approx -0,28$ và $\frac{1}{e}+3\approx 3,37$, nên các giá trị nguyên của $m$ là $m\in \{0;1;2;3\}$.
Vậy có tất cả 4 giá trị nguyên thỏa mãn.