Có bao nhiêu số nguyên $x$ thỏa mãn ${\log }_2\frac{x^2-4}{125}\le {\log }_5\frac{x^2-4}{8}$?

Điều kiện $x^2-4>0\iff |x|>2$. Đặt $t={\log }_2\frac{x^2-4}{125}$, bất phương trình tương đương:
${\log }_2(x^2-4)-3{\log }_{2}5\le \frac{{\log }_2(x^2-4)-3}{{\log }_{2}5}\iff ({\log }_{2}5-1){\log }_2(x^2-4)\le 3({\log }_2^{2}5-1)\iff {\log }_2(x^2-4)\le 3({\log }_{2}5+1)={\log }_{2}1000$.
Suy ra $x^2-4\le 1000\iff x^2\le 1004\iff -\sqrt{1004}\le x\le \sqrt{1004}$ ($\sqrt{1004}\approx 31,68$).
Kết hợp $|x|>2$ và $x\in \mathbb{Z}$, ta có $x\in \{\pm 3;\pm 4;\dots ;\pm 31\}$, gồm $2\cdot 29=58$ số nguyên.