Có bao nhiêu số tự nhiên $x\in [1;2023]$ thỏa mãn $3^{{\log }_{4}x+\frac{1}{2}}+3^{{\log }_{4}x-\frac{1}{2}}\ge \sqrt{x}$.

ĐK: $x>0$, đặt $t={\log }_{4}x$ thì $x=4^t$ và $\sqrt{x}=2^t$.
BPT: $\sqrt{3}\cdot 3^t+\frac{1}{\sqrt{3}}{3}^t\ge 2^t\iff 4\cdot 3^t\ge \sqrt{3}\cdot 2^t\iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^t\ge \frac{\sqrt{3}}{4}\iff t\ge {\log }_{\frac{3}{2}}\frac{\sqrt{3}}{4}$.
Vậy $x\ge 4^{{\log }_{3/2}(\sqrt{3}/4)}$ (mà ${\log }_{3/2}\frac{\sqrt{3}}{4}<0$ nên $4^{{\log }_{3/2}(\sqrt{3}/4)}<1$), do đó mọi số tự nhiên $x\in [1;2023]$ đều thỏa mãn, tức là có $2023$ số tự nhiên thỏa mãn.