Có tất cả bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $|z+3+6i|=|z-1-2i|$ và $(\bar{z}-2i)(z-4)$ là số thuần ảo?

Đặt $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Điều kiện $|z+3+6i|=|z-1-2i|⟺(x+3{)}^2+(y+6{)}^2=(x-1{)}^2+(y-2{)}^2⟺x+2y+5=0⟺x=-2y-5$. Mặt khác $(\bar{z}-2i)(z-4)=[x-(y+2)i][(x-4)+yi]$ có phần thực bằng $x(x-4)+y(y+2)=0$. Thay $x=-2y-5$ vào được $(-2y-5)(-2y-9)+y^2+2y=0⟺5(y+3{)}^2=0⟺y=-3⟹x=1$. Vậy có duy nhất $1$ số phức $z=1-3i$.