Giả sử $f(x)$ là hàm có đạo hàm liên tục trên khoảng $(0;\pi )$ và $f^{\prime }(x)\sin x=x+f(x)\cos x,\forall x\in (0;\pi )$. Biết $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1,f\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{1}{12}(a+b\ln 2+c\pi \sqrt{3})$, với $a,b,c$ là các số nguyên. Giá trị $a+b+c$ bằng

Phương pháp: Biến đổi phương trình về dạng đạo hàm của một thương: ${\left(\frac{f(x)}{\sin x}\right)}^{\prime }=\frac{x}{{\sin }^{2}x}$.
Cách giải: Lấy tích phân hai vế từ $\frac{\pi }{6}$ đến $\frac{\pi }{2}$, sử dụng tích phân từng phần tìm được $f\left(\frac{\pi }{6}\right)$, suy ra các hệ số $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=-1$.
Chọn A.