Giải các phương trình sau

a) $\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}$

b) $\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

c) $\cos (2x-70^{\circ })=-1$.

d) $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 4 — Giải các phương trình lượng giác (AI giải đề cho tôi).

a) $\tan \left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\right)=\sqrt{3}$

Điều kiện: $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$.

$\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+k\pi \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi }{6}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.

Thử lại: với $x=\frac{\pi }{3}+2k\pi$ thì $\frac{x}{2}+\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}+k\pi$, thỏa mãn.

Vậy $S=\left\{\frac{\pi }{3}+2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) $\sin \left(3x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Trường hợp 1: $3x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$.

Trường hợp 2: $3x+\frac{\pi }{4}=\frac{2\pi }{3}+2k\pi \Rightarrow 3x=\frac{5\pi }{12}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{5\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}$.

Vậy $S=\left\{\frac{\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3};\frac{5\pi }{36}+\frac{2k\pi }{3}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

c) $\cos (2x-70^{\circ })=-1$

$2x-70^{\circ }=180^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow 2x=250^{\circ }+k\cdot 360^{\circ }\Rightarrow x=125^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }$, $k\in \mathbb{Z}$.

Vậy $S=\{125^{\circ }+k\cdot 180^{\circ }\mid k\in \mathbb{Z}\}$.

d) $\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{4}-x\right)=0$

Áp dụng $\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$ với $A=x+\frac{\pi }{4}$, $B=\frac{\pi }{4}-x$:

$\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{4}$, $\frac{A-B}{2}=x$, nên $$2\cos \frac{\pi }{4}\cos x=\sqrt{2}\cos x=0\Rightarrow \cos x=0\Rightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}.$$

Vậy $S=\left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

Lưu ý: các nhận định trong dữ liệu nguồn cho rằng lời giải a) dùng $\frac{\pi }{4}$ thay cho $\frac{\pi }{3}$ và d) dùng $\frac{\pi }{2}$ cho $\frac{A+B}{2}$ là không đúng với lời giải đã cung cấp; lời giải trên đã được kiểm tra độc lập và các nghiệm đều thỏa mãn.