Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $$\{\begin{array}{l}x+y=3\sqrt{y-5}+3\sqrt{x+3}\\ \sqrt{x^2+6(y-x)}+2\sqrt{xy}=3y\end{array}.$$

Điều kiện xác định: $x\ge 0$, $y\ge 5$.
Từ phương trình thứ nhất, ta có $x+y=3\sqrt{y-5}+3\sqrt{x+3}$.
Bình phương hai vế, ta được $(x+y{)}^2-9(x+y)+18=18\sqrt{(y-5)(x+3)}\ge 0$.
Do đó $(x+y-3)(x+y-6)\ge 0$.
Mặt khác $x+y\ge 5$, nên $x+y-3>0$. Suy ra $x+y\ge 6$.
Phương trình thứ hai được viết lại thành $\sqrt{x^2-6x+6y}=3y-2\sqrt{xy}$, ta sẽ chứng minh $x=y$.

Giả sử $x>y$. Vì $y>0$ nên $\sqrt{xy}>y$. Do đó $0\le \sqrt{x^2-6x+6y}=3y-2\sqrt{xy}<y$.
Bình phương hai vế, ta có $x^2-6x+6y<y^2$, hay $(x-y)(x+y-6)<0$.
Điều này vô lý vì $x-y>0$ và $x+y-6\ge 0$.

Giả sử $x<y$. Khi đó $\sqrt{xy}<y$, nên $\sqrt{x^2-6x+6y}=3y-2\sqrt{xy}>y>0$.
Bình phương hai vế, ta được $x^2-6x+6y>y^2$, hay $(x-y)(x+y-6)>0$.
Nhưng $x-y<0$ và $x+y-6\ge 0$, mâu thuẫn.

Vậy $x=y$ và thay vào phương trình thứ nhất, ta có $2x=3\sqrt{x-5}+3\sqrt{x+3}$, và theo Cauchy thì
$$3\sqrt{x-5}=3\sqrt{1\cdot (x-5)}\le \frac{3x-12}{2},3\sqrt{x+3}=\sqrt{9\cdot (x+3)}\le \frac{x+12}{2}$$
Suy ra $3\sqrt{x-5}+3\sqrt{x+3}\le 2x$, do đó dấu bằng xảy ra nên $x=6$.
Thử lại để thấy được nghiệm duy nhất của hệ là $x=y=6$.