Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thoả mãn:
$$f(f(x)+y)=f(x^4-y)+8yf(x)\left((f(x){)}^2+y^2\right),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

Ta có $f(f(x)+y)=f(x^4-y)+8yf(x)\left(f(x{)}^2+y^2\right)$ với mọi $x,y\in \mathbb{R}$.
Với mỗi $x\in \mathbb{R}$, chọn $y=\frac{x^4-f(x)}{2}$. Khi đó $f(x)+y=x^4-y=\frac{x^4+f(x)}{2}$.
Thay vào phương trình đã cho, ta được
$$0=4(x^4-f(x))f(x)\left(f(x{)}^2+\frac{(x^4-f(x){)}^2}{4}\right),\forall x\in \mathbb{R}$$
Suy ra với mỗi $x\in \mathbb{R}$, hoặc $f(x)=0$, hoặc $f(x)=x^4$, hoặc $f(x{)}^2+\frac{(x^4-f(x){)}^2}{4}=0$.

Trong trường hợp cuối, ta cũng có $f(x)=0$, nên với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta đều có
$$f(x)\in \{0,x^4\}$$
Bây giờ giả sử tồn tại $a\ne 0$ sao cho $f(a)=0$.
Thay $x=a$ vào phương trình, ta có $f(y)=f(a^4-y)$ với mọi $y\in \mathbb{R}$.
Nếu $f(y)\ne 0$ thì theo kết quả trên, ta cũng có được $f(y)=y^4$.
Do $f(a^4-y)=f(y)\ne 0$, ta cũng có $f(a^4-y)=(a^4-y{)}^4$.

Suy ra $y^4=(a^4-y{)}^4$. Do đó $y=a^4-y$ hoặc $y=-(a^4-y)$.

Trường hợp thứ hai cho $a^4=0$, vô lý vì $a\ne 0$. Vậy $y=\frac{a^4}{2}$.

Đặt $b=\frac{a^4}{2}$, để ý từ các nhận xét trên ta đã chứng minh $f(y)=0$ với mọi $y\ne b$.

Giờ ta sẽ chứng minh $f(b)=0$. Giả sử ngược lại $f(b)\ne 0$. Khi đó $f(b)=b^4$.
Thay $x=b$ vào phương trình, ta được
$$f(b^4+y)=f(b^4-y)+8y{b}^4(b^8+y^2)$$
Chọn $y\notin \{0,b-b^4,b^4-b\}$ thì $b^4+y\ne b$ và $b^4-y\ne b$, nên $f(b^4+y)=f(b^4-y)=0$.
Suy ra $8y{b}^4(b^8+y^2)=0$, vô lý vì $b\ne 0$ và $y\ne 0$. Do đó $f(b)=0$.
Vậy $f(x)=0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Giờ ta xét trường hợp không tồn tại $a\ne 0$ sao cho $f(a)=0$, suy ra $f(x)=x^4$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Thử lại để thấy được tất cả các hàm thỏa mãn là $f(x)=0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, hoặc $f(x)=x^4$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Vậy đáp án: $f(x)=0,\forall x\in \mathbb{R}$ hoặc $f(x)=x^4,\forall x\in \mathbb{R}$.