Gọi $A$ là tập hợp gồm 2026 số nguyên dương đầu tiên. Nếu hoán vị $(a_1,a_2,\dots ,a_{2026})$ của các phần tử thuộc $A$ thỏa mãn $a_i>a_{i+1}$ với $i\in \{1;2;\dots ;2025\}$ thì $a_i$ được gọi là điểm giảm của hoán vị đó.

a) Có bao nhiêu hoán vị $(a_1,a_2,\dots ,a_{2026})$ của các phần tử thuộc $A$ thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
(i) $(a_1,a_2,\dots ,a_{2026})$ có duy nhất một điểm giảm là $a_i=2026$;
(ii) Điểm giảm $a_i$ chia hoán vị thành hai phần $a_1,a_2,\dots ,a_{i-1}$ và $a_{i+1},a_{i+2},\dots ,a_{2026}$, trong đó tập hợp $X=\{a_{i+1};\dots ;a_{2026}\}$ chứa ít nhất một số chẵn và ít nhất một số lẻ?

b) Có bao nhiêu hoán vị $(a_1,a_2,\dots ,a_{2026})$ của các phần tử thuộc $A$ có duy nhất một điểm giảm?

1) Gọi $i$ là vị trí của số 2026.

Vì 2026 là số lớn nhất nên nếu $i<2026$ thì $a_i=2026>a_{i+1}$, tức 2026 là một điểm giảm.

Theo giả thiết đây là điểm giảm duy nhất, do đó $a_1<a_2<\cdots <a_{i-1}<a_i=2026$ và $a_{i+1}<a_{i+2}<\cdots <a_{2026}$. Vì thế, sau khi chọn tập $X=\{a_{i+1},a_{i+2},\dots ,a_{2026}\}\subset \{1,2,\dots ,2025\}$, hoán vị được xác định duy nhất: các phần tử của $\{1,2,\dots ,2025\}\setminus X$ đứng trước 2026 theo thứ tự tăng dần, còn các phần tử của $X$ đứng sau 2026 theo thứ tự tăng dần.

Trong $\{1,2,\dots ,2025\}$ có 1012 số chẵn và 1013 số lẻ. Điều kiện của đề bài tương đương với việc $X$ chọn ít nhất một số chẵn và ít nhất một số lẻ. Số cách chọn là $(2^{1012}-1)(2^{1013}-1)$.

Vậy số hoán vị cần tìm là $(2^{1012}-1)(2^{1013}-1)$.

2) Xét một hoán vị có duy nhất một điểm giảm, ở vị trí $i$.

Khi đó hai dãy $a_1<a_2<\cdots <a_i$ và $a_{i+1}<a_{i+2}<\cdots <a_{2026}$ đều tăng nghiêm ngặt.

Do đó, nếu đặt $B=\{a_1,a_2,\dots ,a_i\}$ thì hoán vị được xác định duy nhất bởi tập $B$: viết các phần tử của $B$ theo thứ tự tăng dần, sau đó viết các phần tử của phần bù $A\setminus B$ theo thứ tự tăng dần.

Tập $B$ phải khác rỗng và khác $A$, nên ban đầu có $2^{2026}-2$ cách chọn.

Hoán vị thu được không có điểm giảm khi và chỉ khi phần tử cuối của khối thứ nhất nhỏ hơn phần tử đầu của khối thứ hai. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $B=\{1,2,\dots ,r\}$ với $r\in \{1,2,\dots ,2025\}$ nào đó, và có 2025 trường hợp như vậy.

Vì thế số hoán vị có đúng một điểm giảm là $(2^{2026}-2)-2025=2^{2026}-2027$.