Gọi $S$ là tập hợp các giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=|x^5-5x^3+5x^2+3m-7|$ có $5$ điểm cực trị. Tính tổng các phần tử của $S$.

Xét $g(x)=x^5-5x^3+5x^2+3m-7$, có $g^{\prime }(x)=5x^4-15x^2+10x=5x(x-1{)}^2(x+2)$. Hàm số $g(x)$ đổi dấu đạo hàm tại $x=-2$ và $x=0$ nên chỉ có $2$ điểm cực trị. Để $y=|g(x)|$ có $5$ điểm cực trị thì phương trình $g(x)=0$ phải có $3$ nghiệm bội lẻ phân biệt $\iff g(0)<0<g(-2)\iff 3m-7<0<3m+21\iff -7<m<\frac{7}{3}$. Các giá trị nguyên của $m$ là $\{-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2\}$, có tổng bằng $-18$.