Gọi $S$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số thực $m$ sao cho giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|\frac{1}{4}{x}^4-14x^2+48x+m-30\right|$ trên đoạn $[0;2]$ không vượt quá 30. Tổng giá trị các phần tử của tập hợp $S$ bằng bao nhiêu?

Xét hàm số $g(x)=\frac{1}{4}{x}^4-14x^2+48x-30$ trên đoạn $[0;2]$.
Đạo hàm $g^{\prime }(x)=x^3-28x+48=(x-2)(x^2+2x-24)=(x-2)(x-4)(x+6)$.
Với mọi $x\in [0;2)$, ta có $x-2<0,x-4<0,x+6>0⟹g^{\prime }(x)>0$.
Do đó hàm số $g(x)$ đồng biến trên đoạn $[0;2]$.
Ta có:
- $g(0)=-30$.
- $g(2)=\frac{1}{4}(16)-14(4)+48(2)-30=4-56+96-30=14$.
Vậy giá trị của $g(x)$ trên đoạn $[0;2]$ thuộc $[-30;14]$.
Hàm số $y=|g(x)+m|$ có giá trị lớn nhất trên đoạn $[0;2]$ là:
${\max }_{[0;2]}y=\max (|-30+m|,|14+m|)=\max (|m-30|,|m+14|)$.
Yêu cầu bài toán:
$\max (|m-30|,|m+14|)\le 30⟺\{\begin{array}{l}|m-30|\le 30\\ |m+14|\le 30\end{array}⟺\{\begin{array}{l}-30\le m-30\le 30\\ -30\le m+14\le 30\end{array}⟺\{\begin{array}{l}0\le m\le 60\\ -44\le m\le 16\end{array}⟺0\le m\le 16$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $S=\{0;1;2;\dots ;16\}$.
Tổng các phần tử của $S$ là:
${\sum }_{m=0}^{16}m=\frac{16\cdot 17}{2}=136$.