Xét các số thực $a,b,x$ thỏa mãn $a>1,b>1,0<x\ne 1$ và $a^{{\log }_{b}x}=b^{{\log }_a(x^2)}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P={\ln }^{2}a+{\ln }^{2}b-\ln (ab)$.

Từ giả thiết $a^{{\log }_{b}x}=b^{{\log }_a(x^2)}$, lấy logarit cơ số tự nhiên hai vế:
${\log }_{b}x\cdot \ln a={\log }_a(x^2)\cdot \ln b⟺\frac{\ln x}{\ln b}\cdot \ln a=2\frac{\ln x}{\ln a}\cdot \ln b$.
Vì $0<x\ne 1$ nên $\ln x\ne 0$. Do đó:
$\frac{\ln a}{\ln b}=2\frac{\ln b}{\ln a}⟺{\left(\frac{\ln a}{\ln b}\right)}^2=2$.
Vì $a>1,b>1$ nên $\frac{\ln a}{\ln b}>0⟹\ln a=\sqrt{2}\ln b$.
Biểu thức $P$ trở thành:
$P=(\sqrt{2}\ln b{)}^2+{\ln }^{2}b-\ln (a\cdot b)=2{\ln }^{2}b+{\ln }^{2}b-(\ln a+\ln b)$
$=3{\ln }^{2}b-(\sqrt{2}+1)\ln b$.
Đặt $t=\ln b>0$, ta có tam thức bậc hai $g(t)=3t^2-(\sqrt{2}+1)t$.
Giá trị nhỏ nhất của $g(t)$ đạt tại $t=\frac{\sqrt{2}+1}{6}>0$:
$P_{\min }=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{(\sqrt{2}+1{)}^2}{4\cdot 3}=-\frac{2+2\sqrt{2}+1}{12}=-\frac{3+2\sqrt{2}}{12}$.