Khối chóp $S.ABCDEF$ có đáy là một lục giác đều cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống mặt phẳng đáy là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $AC$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABCDEF$, biết rằng khoảng cách từ $H$ đến mặt phẳng $(SDE)$ bằng $a$.

Gọi $O$ là tâm lục giác đều $ABCDEF$. Khi đó đáy có diện tích $S_{\text{đaˊy}}=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}$.

Trong hình bình hành $ABCO$, $H$ là trung điểm của $AC$ nên $H$ cũng là trung điểm của $OB$.
Gọi $M$ là trung điểm của $ED$, trong tam giác đều $EOD$ ta có $OM\perp ED$ và $OM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Dựng $HN\parallel OM$ ($N\in ED$), suy ra $HN\perp ED$ và khoảng cách từ $H$ đến $ED$ là $HN=\frac{3}{2}OM=\frac{3}{2}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a\sqrt{3}}{4}$.
Vì $SH\perp (ABCDEF)$ và $HN\perp ED$ nên $(SHN)\perp (SDE)$ theo giao tuyến $SN$.
Kẻ $HK\perp SN$ tại $K$, suy ra $d(H,(SDE))=HK=a$.
Trong tam giác vuông $SHN$:
$\frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{H{N}^2}\iff \frac{1}{a^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{16}{27a^2}\Rightarrow \frac{1}{S{H}^2}=\frac{11}{27a^2}\Rightarrow SH=\frac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{11}}.$
Thể tích khối chóp là:
$V=\frac{1}{3}{S}_{\text{đaˊy}}\cdot SH=\frac{1}{3}\left(\frac{3\sqrt{3}{a}^2}{2}\right)\left(\frac{3\sqrt{3}a}{\sqrt{11}}\right)=\frac{9\sqrt{11}{a}^3}{22}.$