Một doanh nghiệp kinh doanh sản xuất đồng hồ có đồ thị hàm tổng chi phí theo số sản phẩm, là một phần của đồ thị của hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+e}$ như hình vẽ (mỗi đơn vị trên trục hoành tương ứng với 100 sản phẩm, mỗi đơn vị trên trục tung tương ứng với 1000 USD). Biết rằng tâm đối xứng của đồ thị hàm số đó là điểm $I\left(-1;\frac{2}{3}\right)$ và đường tiệm cận xiên của đồ thị đó đi qua điểm B(3;2).

Đáp án: S S Đ S.
Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)$ là $y=ax+b$. Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}-a+b=\frac{2}{3}\\ 3a+b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=1\end{array}$ nên đường tiệm cận xiên là $y=\frac{1}{3}x+1$.
Hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+e}$ được viết lại dưới dạng $f(x)=\frac{1}{3}x+1+\frac{d}{x+1}$.
a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Lợi nhuận = Doanh thu − Chi phí $\iff P(x)=R(x)-f(x)\iff x^2+2x-\frac{1}{3}x-1-\frac{d}{x+1}$.
Theo giả thiết lợi nhuận thu về khi bán 200 sản phẩm bằng 5250USD. Khi đó $P(2)=5,25\iff \frac{19}{3}-\frac{d}{3}=5,25\iff d=\frac{13}{4}=3,25$.
Vậy $f(x)=\frac{1}{3}x+1+\frac{3,25}{x+1}$ có đạo hàm $f^{\prime }(x)=\frac{1}{3}-\frac{3,25}{(x+1{)}^2}=0\iff \{\begin{array}{l}x=\frac{-\sqrt{39}}{2}-1(\text{loại})\\ x=\frac{\sqrt{39}}{2}-1(\text{nhận})\end{array}$
Bảng biến thiên

Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{\sqrt{39}-2}{2}.100\approx 212$ sản phẩm.
a) Sai.
b) Sai.
c) Đúng. Gọi đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $f(x)$ là $y=ax+b$. Theo giả thiết ta có: $\{\begin{array}{l}-a+b=\frac{2}{3}\\ 3a+b=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=\frac{1}{3}\\ b=1\end{array}$ nên đường tiệm cận xiên là $y=\frac{1}{3}x+1$. Hàm số $f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+e}$ được viết lại dưới dạng $f(x)=\frac{1}{3}x+1+\frac{d}{x+1}$.
d) Sai. Vậy số sản phẩm khi chi phí đạt giá trị nhỏ nhất là $\frac{\sqrt{39}-2}{2}.100\approx 212$ sản phẩm.