Một đường hầm xuyên qua núi có chiều rộng $AB=20$ m, mặt cắt đứng của đường hầm có dạng nửa elip và có chiều cao bằng 8 m (được mô tả như hình bên). Tìm độ cao của đường hầm tại điểm trên mặt đường cách chân đường hầm 3 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ với gốc $O$ tại trung điểm $AB$, trục $Ox$ dọc theo $AB$. Khi đó elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ với $a=10$ (nửa trục lớn, vì $AB=20$ m) và $b=8$ (chiều cao lớn nhất của nửa elip). Phương trình elip: $\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$.

Điểm $C$ trên mặt đường cách chân đường hầm (điểm $B$) 3 m nên $C$ có hoành độ $x=10-3=7$ m. Độ cao tại $C$ là tung độ $y$ của điểm trên elip với $x=7$:
$$\frac{49}{100}+\frac{y^2}{64}=1\Rightarrow y^2=64\cdot \frac{51}{100}=\frac{3264}{100}=32,64\Rightarrow y=\sqrt{32,64}\approx 5,713.$$

Vậy độ cao của đường hầm tại điểm cách chân đường hầm 3 m là khoảng $5,7$ m.