Câu 19THPT
Thuộc đề: Kỳ Kiểm Tra Khảo Sát Lớp 12 Toán Học 2025-2026 THPT Nguyễn Trãi - Ba Đình, Hà Nội - Lần 1Một kỹ sư tiến hành lắp ráp một rotor của động cơ phản lực. Rotor có 9 khe cắm cánh quạt được đánh số cố định từ 1 đến 9 theo vòng tròn (như hình vẽ). Khoảng cách giữa các khe đều nhau, tạo thành các đỉnh của một đa giác đều có 9 cạnh. Do sai số chế tạo, 9 cánh quạt có khối lượng thực tế là các số nguyên phân biệt từ 1 gam đến 9 gam. Để đảm bảo rotor cân bằng động học khi quay, kỹ sư lựa chọn phương án lắp đặt thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
+ Chia 9 cánh quạt thành 3 nhóm (mỗi nhóm 3 cánh).
+ Mỗi nhóm được lắp vào 3 khe cắm tạo thành một tam giác đều (ba khe cắm tạo thành một tam giác đều khi và chỉ khi chúng cách nhau đúng 3 khe theo vòng tròn).
+ Tổng khối lượng của 3 cánh quạt trong mỗi nhóm phải bằng nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 cánh quạt vào 9 khe cắm thỏa mãn các điều kiện kỹ thuật trên? (Hai cách sắp xếp được coi là khác nhau nếu có ít nhất một cánh quạt ở một vị trí khe cắm khác nhau, không đồng nhất các cách lắp khác nhau bởi phép quay hay phép đối xứng của rotor).
[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]
Một kỹ sư tiến hành lắp ráp một rotor của động cơ phản lực. Rotor có 9 khe cắm cánh quạt được đánh số cố định từ 1 đến 9 theo vòng tròn (như hình vẽ). Khoảng cách giữa các khe đều nhau, tạo thành các đỉnh của một đa giác đều có 9 cạnh. Do sai số chế tạo, 9 cánh quạt có khối lượng thực tế là các số nguyên phân biệt từ 1 gam đến 9 gam. Để đảm bảo rotor cân bằng động học khi quay, kỹ sư lựa chọn phương án lắp đặt thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
+ Chia 9 cánh quạt thành 3 nhóm (mỗi nhóm 3 cánh).
+ Mỗi nhóm được lắp vào 3 khe cắm tạo thành một tam giác đều (ba khe cắm tạo thành một tam giác đều khi và chỉ khi chúng cách nhau đúng 3 khe theo vòng tròn).
+ Tổng khối lượng của 3 cánh quạt trong mỗi nhóm phải bằng nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 cánh quạt vào 9 khe cắm thỏa mãn các điều kiện kỹ thuật trên? (Hai cách sắp xếp được coi là khác nhau nếu có ít nhất một cánh quạt ở một vị trí khe cắm khác nhau, không đồng nhất các cách lắp khác nhau bởi phép quay hay phép đối xứng của rotor).
[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]
+ Chia 9 cánh quạt thành 3 nhóm (mỗi nhóm 3 cánh).
+ Mỗi nhóm được lắp vào 3 khe cắm tạo thành một tam giác đều (ba khe cắm tạo thành một tam giác đều khi và chỉ khi chúng cách nhau đúng 3 khe theo vòng tròn).
+ Tổng khối lượng của 3 cánh quạt trong mỗi nhóm phải bằng nhau.
Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 9 cánh quạt vào 9 khe cắm thỏa mãn các điều kiện kỹ thuật trên? (Hai cách sắp xếp được coi là khác nhau nếu có ít nhất một cánh quạt ở một vị trí khe cắm khác nhau, không đồng nhất các cách lắp khác nhau bởi phép quay hay phép đối xứng của rotor).
[Hình cần kiểm tra lại: p5_f1]
Đáp án chính thức: 2592
Hướng dẫn giải chi tiết
Đáp số: 2592. Tổng khối lượng của các cánh quạt: gam. Ta chia 3 nhóm cánh quạt sao cho tổng khối lượng của 3 cánh quạt trong mỗi nhóm phải bằng nhau. Suy ra, khối lượng của mỗi nhóm bằng: gam. Các bộ gồm 3 số lấy từ tập mà tổng của chúng bằng 15 là: Chọn 3 bộ trong số 7 bộ trên sao cho các chữ số không trùng nhau để có được 3 nhóm cánh quạt có tổng khối lượng thỏa mãn.
Trường hợp 1: . Chọn ra 3 tam giác đều thỏa đề bài có: cách; với mỗi tam giác đều, để lắp 3 số vào 3 đỉnh ta có: 3! cách. Có tất cả 3 tam giác đều, do đó số cách xếp trong trường hợp này là: cách.
Trường hợp 2: . Tương tự trường hợp 1, có 1296 cách.
Vậy có tất cả cách xếp.
Trường hợp 1: . Chọn ra 3 tam giác đều thỏa đề bài có: cách; với mỗi tam giác đều, để lắp 3 số vào 3 đỉnh ta có: 3! cách. Có tất cả 3 tam giác đều, do đó số cách xếp trong trường hợp này là: cách.
Trường hợp 2: . Tương tự trường hợp 1, có 1296 cách.
Vậy có tất cả cách xếp.