Một nghệ nhân có $9$ chiếc đèn lồng với độ dài dây treo ($\text{cm}$) lần lượt là $10,20,30,\dots ,90$. Khung đèn là một tam giác đều $ABC$; gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $AB,BC,CA$. Nghệ nhân chọn ngẫu nhiên $6$ chiếc đèn và gán ngẫu nhiên vào $6$ vị trí $A,B,C,M,N,P$ (mọi cách gán là đồng khả năng). Để khung đèn đạt độ cân đối hoàn hảo, trên mỗi cạnh tam giác, chiều dài dây treo của đèn ở giữa phải bằng trung bình cộng chiều dài dây treo của hai đèn ở hai đầu mút cạnh đó. Gọi xác suất để thỏa mãn điều kiện ngay lần chọn và gán đầu tiên là $p$. Giá trị của $\frac{6}{p}$ bằng bao nhiêu?