Một ngôi nhà hình lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $B$. $AB=AD=4(m);BC=3,5(m);B{B}^{\prime }=6m$ (xem hình vẽ). Ở bức tường $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $3(m)$, còn ở bức tường $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ người ta lắp một bóng điện cách cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ một khoảng bằng $3(m)$ và cách mặt sàn một khoảng bằng $2,5(m)$. Một bảng điều khiển được đặt tại bức tường $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ một khoảng bằng $1(m)$ và cao $1,5(m)$ so với mặt sàn. Người ta muốn nối dây điện từ bảng điều khiển men theo các bức tường (không mắc lên mái) đến 2 bóng điện trên. Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu mét dây điện? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

(AI giải đề cho tôi)
Lập hệ tọa độ: hình thang đáy (cửa tiền) nằm trong mặt phẳng $z=0$ với $A(0;0;0)$, $B(4;0;0)$, $D(0;4;0)$, $C(4;3,5;0)$; chiều dài nhà theo phương $y$ với $B{B}^{\prime }=6$, tức $A^{\prime }(0;6;0)$, $D^{\prime }(0;6;4)$, $C^{\prime }(4;6;3,5)$. Khi đó tường sau là $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ (mặt phẳng $y=6$), tường bên $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ là mặt phẳng $x=0$, tường bên $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là mặt phẳng $x=4$.

- Bảng điều khiển $P$ trên tường $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ (đường $x=0$, $y=6$) một khoảng $1$ m và cao $1,5$ m nên $P(1;6;1,5)$.
- Bóng điện thứ nhất trên tường $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$: cách cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ (đường $y=6$ trên tường này) $3$ m và cao $3$ m nên $M_1(0;3;3)$.
- Bóng điện thứ hai trên tường $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$: cách cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ (đường $y=6$ trên tường này) $3$ m và cao $2,5$ m nên $M_2(4;3;2,5)$.

Dây điện men theo tường, không qua mái $DC{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.

Đoạn $P\to M_1$: hai tường $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $AD{D}^{\prime }{A}^{\prime }$ gặp nhau dọc cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Trải hai tường ra cùng một mặt phẳng, lấy cạnh $A^{\prime }{D}^{\prime }$ làm trục, $u$ là khoảng cách tới cạnh này, $z$ là độ cao: $P$ có $(u;z)=(1;1,5)$, $M_1$ có $(u;z)=(3;3)$ nằm khác phía. Đường thẳng ngắn nhất có độ dài
$$P{M}_1=\sqrt{(1+3{)}^2+(3-1,5{)}^2}=\sqrt{16+2,25}=\sqrt{18,25}\approx 4,272.$$
(Phương án đi qua sàn dài hơn: $\sqrt{1^2+7,5^2}>7,5$.)

Đoạn $P\to M_2$: hai tường $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ và $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ gặp nhau dọc cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Trải phẳng: $P$ cách $B^{\prime }{C}^{\prime }$ một khoảng $4-1=3$, cao $1,5$; $M_2$ cách $B^{\prime }{C}^{\prime }$ một khoảng $3$, cao $2,5$, hai điểm khác phía sau khi trải. Độ dài ngắn nhất
$$P{M}_2=\sqrt{(3+3{)}^2+(2,5-1,5{)}^2}=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}\approx 6,083.$$
(Đi qua sàn cho $\sqrt{5,5^2+4,5^2}\approx 7,11$, dài hơn.)

Xét phương án một dây nối liền $P\to M_1\to M_2$ hoặc $P\to M_2\to M_1$: khoảng cách tường-tường giữa $M_1$ và $M_2$ ngắn nhất (trải qua sàn) là $9,5$ m, nên tổng vượt xa $4,272+6,083$. Vậy dùng hai dây riêng:
$$L_{\min }=\sqrt{18,25}+\sqrt{37}\approx 4,272+6,083=10,355\approx 10,4\text{ (m)}.$$

Khớp với đáp số nguồn $10,4$.