Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2020 của tham số $m$ để phương trình ${\log }_6(2020x+m)={\log }_4(1010x)$ có nghiệm là

Đặt ${\log }_6(2020x+m)={\log }_4(1010x)=t$.
Khi đó:
$1010x=4^t⟹2020x=2\cdot 4^t$.
$2020x+m=6^t⟹2\cdot 4^t+m=6^t⟺m=6^t-2\cdot 4^t$.
Xét hàm số $g(t)=6^t-2\cdot 4^t$ với $t\in \mathbb{R}$:
$g^{\prime }(t)=6^t\ln 6-2\cdot 4^t\ln 4=0⟺{\left(\frac{6}{4}\right)}^t=\frac{2\ln 4}{\ln 6}=\frac{\ln 16}{\ln 6}⟹t_0={\log }_{1.5}\left(\frac{\ln 16}{\ln 6}\right)$.
Tại $t_0$, hàm số đạt cực tiểu với $g(t_0)\approx -2.01$.
Khi $t\to +\infty$, $g(t)\to +\infty$.
Do đó miền giá trị của $g(t)$ là $[g(t_0);+\infty )$ với $g(t_0)\in (-3;-2)$.
Để phương trình có nghiệm thì $m\ge g(t_0)⟹m\in \{-2;-1;0;1;\dots ;2019\}$.
Số giá trị nguyên của $m$ nhỏ hơn 2020 là $2019-(-2)+1=2022$ giá trị.