Tại chương trình Trại hè Hùng Vương lần thứ XX năm 2026, Ban tổ chức đã sắp xếp 26 buổi giao lưu và nghe giảng bài của các cựu học sinh đạt huy chương IMO của Việt Nam. Biết rằng có tất cả $n$ học sinh môn Toán đăng ký và vì theo sắp xếp chương trình, mỗi buổi sẽ có đúng 20 học sinh tham gia và 2 học sinh bất kỳ tham gia chung không quá 1 buổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của $n$ trong từng trường hợp sau (có xây dựng ví dụ cụ thể):
a) Mỗi học sinh được tham gia không quá 2 buổi.
b) Có một số học sinh được tham gia nhiều hơn 2 buổi.

a) (2,0 điểm) Tổng số lượt tham gia là $26\cdot 20=520$. Vì mỗi học sinh tham gia không quá 2 buổi nên số lượt tham gia sẽ không quá $2n$. Do đó, ta có $2n\ge 520$, giải ra được $n\ge 260$. Giá trị nhỏ nhất cần tìm là 260. (1,0)

Xây dựng cho $n=260$; mỗi học sinh sẽ tham gia đúng 2 buổi. Coi mỗi buổi như 1 đỉnh của đồ thị đơn và học sinh tương ứng với cạnh. Xếp các đỉnh của đồ thị lên vòng tròn và mỗi đỉnh sẽ nối với 10 đỉnh liền trước và 10 đỉnh liền sau. Như thế, bậc mỗi đỉnh là 20, ứng với mỗi buổi có 20 học sinh và vì đây là đồ thị đơn nên 2 buổi bất kỳ có chung không quá 1 học sinh. Số học sinh là $n=\frac{26\cdot 20}{2}=260$. (1,0)

b) (3,0 điểm) Nhận xét: “2 học sinh bất kỳ tham gia chung không quá 1 buổi” tương đương với “2 buổi bất kỳ có chung không quá 1 học sinh tham gia”.
Gọi $x_1,x_2,\dots ,x_n$ là số buổi mà các học sinh $1,2,\dots ,n$ tham gia. Ta có ngay
$$x_1+x_2+\cdots +x_n=26\cdot 20=520.$$
Gọi $S$ là số bộ $(\{A,B\},C)$ mà học sinh $C$ có tham gia vào cặp buổi $\{A,B\}$.
• Đếm theo cặp buổi: $S\le C_{26}^2\cdot 1=325$.
• Đếm theo học sinh $C$: $S=C_{x_1}^2+C_{x_2}^2+\cdots +C_{x_n}^2=\frac{1}{2}\left({\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-{\sum }_{i=1}^n{x}_i\right)$. (1,0)

Vì $x_i\in \mathbb{Z}$ nên đánh giá $(x_i-2)(x_i-3)\ge 0$ luôn đúng, do đó $x_i^2\ge 5x_i-6$. Do đó ${\sum }_{i=1}^n{x}_i^2\ge 5{\sum }_{i=1}^n{x}_i-6n$. Thay vào đánh giá $S$, ta có $S\ge 2{\sum }_{i=1}^n{x}_i-3n=1040-3n$.
Vì thế $325\ge 1040-3n$, giải ra được $n\ge 239$. Giá trị nhỏ nhất cần tìm là 239. (1,0)

Xây dựng cho $n=239$: gọi $a,b$ lần lượt là số học sinh tham gia 2, 3 buổi. Ta có hệ sau: $a+b=239$, $2a+3b=520\iff a=197$, $b=42$.
Ta coi 26 buổi ứng với 26 đỉnh của một đồ thị đầy đủ $K_{26}$. Mỗi học sinh tham gia 2 buổi sẽ ứng với 1 cạnh nối 2 đỉnh biểu diễn buổi tương ứng. Mỗi học sinh tham gia 3 buổi sẽ ứng với 1 tam giác lấy từ 3 đỉnh của đồ thị. Như vậy cần chọn các tam giác và các cạnh hợp lý sao cho không có 2 cạnh nào bị trùng nhau.
Ta đánh số 26 buổi bởi $A_0,A_1,\dots ,A_{25}$. Ta chọn các tam giác (số thứ tự mod 26):
$${\mathcal{T}}_1=\{\{A_i,A_{i+1},A_{i+3}\}\mid i=0,1,\dots ,25\},{\mathcal{T}}_2=\{\{A_{2i},A_{2i+4},A_{2i+9}\}\mid i=0,1,\dots ,12\},$$
$${\mathcal{T}}_3=\{\{A_1,A_5,A_9\},\{A_7,A_{11},A_{15}\},\{A_{13},A_{17},A_{21}\}\}.$$
Số lượng các bộ ba là $26+13+3=42$. Trong nhóm ${\mathcal{T}}_1$, các cặp đỉnh có số thứ tự cách 1, 2, 3 (mod 26), trong nhóm ${\mathcal{T}}_2$, các cặp đỉnh số thứ tự cách 4, 5, 9 (mod 26), đồng thời với khoảng cách là 4 thì hai đầu đều chẵn; trong nhóm ${\mathcal{T}}_3$, các khoảng cách là 4, 8 (mod 26) và hai đầu đều lẻ. Vì thế không có cạnh nào bị lặp lại.
Tiếp theo, trong ${\mathcal{T}}_1$, mỗi đỉnh thuộc đúng 3 tam giác; trong ${\mathcal{T}}_2$, có mỗi đỉnh chẵn thuộc 2 tam giác và mỗi đỉnh lẻ thuộc 1 tam giác, trong ${\mathcal{T}}_3$, có 9 đỉnh lẻ (trừ các đỉnh 3, 19, 23, 25). Vì thế nên có 22 đỉnh thuộc 5 tam giác và 4 đỉnh thuộc 4 tam giác. Bỏ đi 2 cạnh $A_3{A}_{25},A_{19}{A}_{23}$ và chọn tất cả $C_{26}^2-3\cdot 42-2=197$ cạnh còn lại của đồ thị, mỗi cạnh ứng với 197 học sinh tham gia 2 buổi.
Tiếp theo ta kiểm tra bậc của mỗi đỉnh, ta xét 22 đỉnh thuộc 5 tam giác khi đó mỗi đỉnh loại này có bậc là $26-5-1=20$. Còn bốn đỉnh 3, 19, 23, 25 có mỗi đỉnh thuộc 4 tam giác và do bỏ đi cạnh $A_3{A}_{25},A_{19}{A}_{23}$ từ đồ thị $K_{26}$ ta được mỗi đỉnh loại này có bậc là $26-4-1-1=20$. Do đó ta có 26 đỉnh với mỗi đỉnh có bậc là 20 hay mỗi buổi có đúng 20 học sinh tham gia. (1,0)

Lưu ý. Các bài toán ở trên đây có thể có nhiều cách giải. Ban giám khảo cần cứ tình hình cụ thể để cho điểm nếu thí sinh làm khác cách giải của hướng dẫn chấm thi.