Tìm số giá trị nguyên của tham số $a\le 2$ để phương trình $e^{e^{2x}-a}-2x-a=0$ có nhiều nghiệm nhất?

Phương trình tương đương $e^{e^{2x}-a}+e^{2x}-a=e^{2x}+2x⟺e^{e^{2x}-a}+(e^{2x}-a)=e^{\ln (e^{2x})}+\ln (e^{2x})$. Xét hàm đặc trưng $f(t)=e^t+t$ đồng biến trên $\mathbb{R}$, suy ra $e^{2x}-a=2x⟺e^{2x}-2x=a$. Xét $h(x)=e^{2x}-2x$, ta có $h^{\prime }(x)=2e^{2x}-2=0⟺x=0$. $h(0)=1$. Bảng biến thiên cho thấy $h(x)\ge 1$, do đó đường thẳng $y=a$ cắt đồ thị tại nhiều nghiệm nhất (2 nghiệm) khi và chỉ khi $a>1$. Kết hợp điều kiện $a\le 2$ và $a\in \mathbb{Z}$, ta được $a=2$. Vậy có đúng 1 giá trị nguyên của $a$.