Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn:
$$(P(x){)}^2=2P(x^2-1)+1.$$

Lời giải: Nếu $P(x)\equiv c$, thì $c^2=2c+1\iff c=1\pm \sqrt{2}$. Các đa thức $P(x)=1\pm \sqrt{2}$ thỏa mãn đề bài. [0.5]

Nếu $\mathrm{deg}P\ge 1$, đặt $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ thì $a^2-1=a$. Cho $x=a$, ta được $(P(a){)}^2=2P(a)+1\iff P(a)=1\pm \sqrt{2}$. [1]

Nếu $P(a)=1+\sqrt{2}=b$ thì $b^2=2b+1$, đặt $P(x)=(x-a{)}^n\cdot Q(x)+b$ với $Q(x)$ là đa thức, $Q(a)\ne 0$. Thay vào đề bài ta được: [1]

${\left((x-a{)}^n\cdot Q(x)+b\right)}^2=2\left((x^2-1-a{)}^n\cdot Q(x^2-1)+b\right)+1$

$\iff (x-a{)}^{2n}\cdot (Q(x){)}^2+2b(x-a{)}^n\cdot Q(x)+b^2=2(x^2-a^2{)}^n\cdot Q(x^2-1)+2b+1$

$\Rightarrow (x-a{)}^n\cdot (Q(x){)}^2+2b\cdot Q(x)=2(x+a{)}^n\cdot Q(x^2-1)$ [1]

Cho $x=a$ ta được $2b\cdot Q(a)=2\cdot (2a{)}^n\cdot Q(a^2-1)\Rightarrow b=(2a{)}^n$. Rõ ràng không tồn tại $n$ để đẳng thức này xảy ra, mâu thuẫn, suy ra $P(x)\equiv b$. Trường hợp thứ hai $P(a)=1-\sqrt{2}$ tương tự.

Vậy chỉ có $P(x)=1+\sqrt{2}$ và $P(x)=1-\sqrt{2}$ là hai đa thức thỏa mãn đề bài. [1.5]