Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn
$$xf(2x+xy)=xf(x)+f\left(x^2\right)f(y+1),\forall x,y\in \mathbb{R}.$$

Lời giải (Lim Olympic - Lào Cai TST - P4):
Thay $y$ bởi $y-1$, phương trình trở thành
$$xf(x(y+1))=xf(x)+f\left(x^2\right)f(y),\forall x,y\in \mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(1)}$$
Hàm $f\equiv 0$ hiển nhiên thỏa mãn. Từ đây ta giả sử $f$ không đồng nhất bằng 0.
Cho $x=0$ trong (1), ta được $f(0)f(y)=0$ với mọi $y$, nên $f(0)=0$.
Đặt $a=f(1)$. Từ (1) với $x=1$ suy ra
$$f(y+1)=a(1+f(y)).\text{\hspace{1em}(2)}$$
Nếu $a=0$ thì (2) cho $f\equiv 0$, trái với giả thiết. Vậy $a\ne 0$. Thế $y=-1$ vào (2), ta có $f(-1)=-1$.
Tiếp tục cho $y=-1$ trong (1), ta được
$$f\left(x^2\right)=xf(x),\forall x\in \mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(3)}$$
Từ (1) và (3), với $x\ne 0$, ta có được $f(x(y+1))=f(x)(1+f(y))$.
Dùng (2), rồi đặt $z=y+1$ để suy ra được
$$f(xz)=\frac{f(x)f(z)}{a},\forall x,z\in \mathbb{R}.\text{\hspace{1em}(4)}$$
Đặt $g(x)=\frac{f(x)}{a}$ thì $g$ là hàm nhân, $g(1)=1$. Với $x\ne 0$, ta có $g(x)g(1/x)=1$, nên $g(x)\ne 0$.
Từ (3) và tính nhân ta suy ra được $ag(x{)}^2=axg(x)$ với mọi $x\ne 0$, do đó $g(x)=x$ với mọi $x\ne 0$; và đẳng thức cũng đúng tại $x=0$. Vậy $f(x)=ax$ với mọi $x$. Thử lại ta có $a=1$ nên $f(x)=x$, $\forall x\in \mathbb{R}$.
Do đó tất cả hàm số cần tìm là $f\equiv 0$ và $f(x)=x$, $\forall x\in \mathbb{R}$.