Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ thỏa mãn $n\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ và $A(k)=3^{k}n-1$ là số nguyên tố với mọi $k\in \{1;2;\dots ;n\}$.

Với $n=2$, ta có $A(1)=5$ và $A(2)=17$ đều là số nguyên tố. Vì vậy $n=2$ thỏa mãn.
Giả sử $n>2$ thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Trước hết, xét trường hợp $3\nmid n-1$. Đặt $d=n-1>1$. Khi đó $\gcd (3,d)=1$. Theo định lý Euler, ta có
$$3^{\phi (d)}\equiv 1(\mathrm{mod}d).$$
Chọn $k=\phi (d)$. Ta có $1\le k\le d-1=n-2<n$ và, do $n\equiv 1(\mathrm{mod}d)$,
$$A(k)=3^{k}n-1\equiv 3^k-1\equiv 0(\mathrm{mod}d).$$
Mặt khác $A(k)>d>1$, nên $A(k)$ là hợp số, mâu thuẫn.
Do đó chỉ còn trường hợp $3\mid n-1$, tức là $n\equiv 1(\mathrm{mod}3)$.
Kết hợp với $n\equiv 2(\mathrm{mod}4)$ và $n>2$, ta có $n\ge 10$. Đặt $d=n-3\ge 7$. Khi đó $\gcd (3,d)=1$.
Chọn $k=\phi (d)-1$, ta có $1\le k\le d-2<n$. Vì $n\equiv 3(\mathrm{mod}d)$, định lý Euler cho ta
$$A(k)=3^{k}n-1\equiv 3^{k+1}-1=3^{\phi (d)}-1\equiv 0(\mathrm{mod}d).$$
Lại có $A(k)>d>1$, nên $A(k)$ là hợp số và cũng có mâu thuẫn.
Vậy số nguyên dương duy nhất cần tìm là $n=2$.